Outils mathématiques 3D

Le but de ce cours est de donner aux élèves les outils mathématiques nécessaire à la mise en place et à l'utilisation d'outils de modélisation en mécanique.
Ils maitriseront à la fin de ce cours l'utilisation des fonctions de plusieurs variable ainsi que les notions élémentaires d'algèbre linéaire.

Notions de base de Mathématiques (fonctions, dérivées, géométrie de base).

1. Rappel sur les nombres complexes

Notation a + ib. Module, argument. Interprétation géométrique.
Règles de calcul, exponentielle, log. Trigonométrie.

2. Géométrie dans le plan et dans l'espace

Géométrie plane: équation de droite en cartésienne, en paramétrique. Intersection de deux droites.
Géométrie dans l'espace: équations de droites. équations cartésienne et paramétrique d'un plan. Intersection de deux plans, d'un plan et d'une droite.
Produit scalaire, produit vectoriel. Orthogonalité.

3. Algèbre linéaire

Espace vectoriel, le cas Rn.
Familles libres, génératrices, bases. Dimension finie. Sous-espaces engendrés.
Applications linéaires. Noyau, image.
Quelques espaces de fonctions.

4. Calcul matriciel

Définition. Opérations sur les matrices (somme, produit matrice-vecteur, produit de matrices).
Inversion de matrices, résolution de systèmes linéaires, rang d'une matrice. Pivot de Gauss.
Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation.
Produit scalaire sur Rn, norme. Matrices symétriques, matrices orthogonales.

5. Fonctions de plusieurs variables

On se focalisera sur des fonctions du types f(x, y), f(x, y, z), f(t, x, y, z).
Dérivées partielles. Théorème de Schwartz.
Formule de Taylor à l'ordre 2.
Fonctions composées.
Surfaces données sous forme d'un graphe, de façon implicite ou bien paramétrées. Plan tangent. Calcul du plan tangent, de la normale. Position par rapport à la tangente.
Analyse vectorielle: opérateurs différentiels et leurs propriétés. Changement de système de coordonnées.

6. Intégrales multiples

Intégrales doubles: lien avec la surface. Calcul, théorème de Fubini, changement de variables.
Intégrales triples: volume. Calcul par couches, par pile. Changement de variables.
Intégrale de surface: calcul de l'élément de surface, de la normale.
Formules de Stokes, Green-Ostrogradski.
Formes différentielles de degré 1 et leur intégration. Formule de Green-Riemann.

Sciences et Techniques de l'Ingénieur